Question

下列这道极限怎么解？lim（x趋于0）（tantanx-sinsinx）/tanx-sinx=？

Answer 1

sinx=x-x^3/6+o(x^3)

sin(sinx)=sinx-(sinx)^3/6+o(sinx)

=x-x^3/6+o(x^3)-(x-x^3/6+o(x^3))^3/6 +o(sinx)

=x-x^3/3+o(x^3)

tanx=x+x^3/3+o(x^3)

tan(tanx)=x+x^3/3+(x+x^3+o(x^3))^3/3+o(x^3)

=x+2/3 x^3+o(x^3)

tanx-sinx=x^3/2+o(x^3)

所以求极限

=lim(x-->0)(x^3+o(x^3))/(x^3/2 x^3-o(x^3))

=2

不定积分的公式：

1、∫ a dx = ax + C，a和C都是常数

2、∫ x^a dx = [x^(a + 1)]/(a + 1) + C，其中a为常数且 a ≠ -1

3、∫ 1/x dx = ln|x| + C

4、∫ a^x dx = (1/lna)a^x + C，其中a > 0 且 a ≠ 1

5、∫ e^x dx = e^x + C

6、∫ cosx dx = sinx + C

7、∫ sinx dx = - cosx + C

8、∫ cotx dx = ln|sinx| + C = - ln|cscx| + C

Answer 2

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 3

无穷近似值替换，x趋于0时tanx=x，sinx=x。lim=lim（tanx-sinx）/（tanx-sinx）=1

追问

谢谢解答，明天再说。

如果用罗比塔法则求结果就是2了，不明所以。

追答

洛必达
=lim（sec²（tanx）sec²x-cos（sinx）cosx）/（sec²x-cosx）
=lim（sec²（tanx）-cos（sinx）cos³x）/（1-cos³x）
=lim（2sec²（tanx）tan（tanx）sec²x+sin（sinx）cos⁴x+cos（sinx）3cos²xsinx）/3cos²xsinx
=lim（2sec²（tanx）sec⁴x（tan（tanx）/sinx）/3+（sin（sinx）/sinx）cos²x/3+cos（sinx））
=2/3+1/3+1
=2

追问

不可以用tanx来代换tantanx……

第二种解法是正确的。