Question

问一道高二圆锥曲线题

A B为椭圆x2/36+y2/20=1长轴的左右端点，F为右焦点，P在椭圆上，位于x轴上方，PA⊥PF。
1 求P的坐标
2 M为AB上一点，M到直线AP的距离等于MB的绝对值，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值

Answer 1

首先可由椭圆方程得到a=6，b=2√5，从而c=4，c/a=2/3，右准线x=a^2/c=9
(1)设P坐标为(x,y)，则P到右准线距离为 9-x ，P到F距离为2(9-x)/3
过P作垂线交AB于Q，则QF=6-x，又AF=6+4=10
根据三角形PQF与APF相似，有QF/PF=PF/AF
解得x=3/2,带回椭圆方程，y=(5√3)/2，
即P坐标为(3/2,(5√3)/2)
(2)设M坐标为(x',0),M到AP的距离l=MB
在直角三角形APF中有l/PF=AM/AF,由上一问结果知PF=5,AF=10,又AM=x'+6，有l/5=(x'+6)/10,且l=MB=6-x’，联立解得x‘=2
若设椭圆上某点坐标为(x,y)，则距离d=√((x-2)^2+y^2)
可化简为求d^2=(x-2)^2+y^2的最小值
由椭圆方程得y^2=20(1-x^2/36)
带入得d^2=(x-2)^2+20(1-x^2/36)
化简得9d^2=4(x-9/2)^2+135
故当x=9/2时,d^2有最小值15,即d最小值为√15