Question

一道数列题目

1．定义：在数列{an}中，若{an}^2－{an－1}^2＝p，（n≥2，n∈N*，p为常数），则称{an}为“等方差数列”．下列是对“等方差数列”的有关判断： ①若{an}是“等方差数列”，则数列{an2}是等差数列； ②{(－1)^n}是“等方差数列”； ③若{an}是“等方差数列”，则数列{akn}（k∈N*，k为常数）也是“等方差数列”； ④若{an}既是“等方差数列”，又是等差数列，则该数列是常数数列．其中判断正确的序号是 ．

说明：{akn} kn为下标 {an-1} n-1为下标
谁能帮我证明下第③个

Answer 1

数列{an}中的项列举出来是：a1,a2,.....ak,ak+1,ak+2,....a2k......a3k......
数列{akn}中的项列举出来是：ak, a2k a3k.....
因为 ak+1^2-ak^2=ak+2^2-ak+1^2=ak+3^2-ak+2^2=.......=a2k^2-a2k-1^2=p
所以 (ak+1^2-ak^2)+( ak+2^2-ak+1^2)+( ak+3^2-ak+2^2)+...+( a2k^2-a2k-1^2)=a2k^2-ak^2=kp

类似地有
(akn^2-akn-1^2)=(akn-1^2-akn-2^2)=........=(akn+3^2-akn+2^2)=akn+2^2-akn+1^2=akn+1^2-akn^2=p
同上连加可得
akn+1^2-akn^2=kp
所以，数列{akn}是等方差数列

Answer 2

思路：等差数列本身就像是一个一个的上台阶，每个台阶一样高；等方差也不例外（只是把台阶从an换成了an^2而已）；如果换成kn， 就是一次上k个台阶，显然也是等方差数列。
数学语言表达思路：设{an}^2－{a（n－1）}^2＝p；
则ak(n+1) ^2 - akn ^2
={ ak(n+1) ^2 - a[k(n+1)-1] ^2 } + { a[k(n+1)-1] ^2 - a[k(n+1)-2] ^2} + … +[a(kn+1) ^2 - akn^2]
=kp；
这显然已经符合了等方差数列的要求~