Question

第三届全国初二数学竞赛，最后一道？

最后一道
甲乙两人同时同点顺时针跑步，甲的速度比乙快，甲第一次从乙背后追上，立即掉头往后跑，他们在起点相遇，乙恰好跑了4圈，问：甲的速度是乙的速度的几倍?

Answer 1

设： 圈长 L； 乙的速度为 V ，且甲的速度是乙的速度的 X 倍，则 甲的速度为 XV；甲乙第一次相遇用时 T1，第一次相遇到第二次相遇用时 T2 。
列方程： (XV-V)T1=L 得 T1=L/(XV-V) ①
(XV+V)T2=L 得 T2=L/(XV+V) ②
V(T1+T2)=4L ③
J将①②代入③得： 2XX-X-2=0
最终求得 X=(1+√17)/4

Answer 2

由题意可设相遇时乙跑了3圈加x圈，则甲跑了4圈加x圈，那么甲乙速度之比可以表示为（4+x)/(3+x),此后甲往回跑了x圈，乙跑了（1-x）圈后相遇，故甲乙速度之比也可以表示为x/(1-x).
故可得方程x/(1-x)=(4+x)/(3+x).解得x=[sqrt(17)-3]/2。 (sqrt()表示根号，下同）。故甲乙速度之比为x/(1-x)=[sqrt(17)-3]/[5-sqrt(17)]=[1+sqrt(17)]/4。