Question

求下面的这道齐次方程如何求其通解

Answer 1

解：将原方程整理为，dx/dy=[(x/y-1)e^(x/y)]/(1+e^(x/y)]。设x=uy，代入有u+yu'=[(u-1)e^u]/(1+e^u)。
∴(1+e^u)du/(u+e^u)=-dy/y。两边积分，∴ln丨u+e^u丨=-ln丨y丨+lnc，∴u+e^u=C/y。
∴ye^(x/y)=C-x，其中，C为任意常数。供参考。

Answer 2

(1+e^(x/y))dx+e^(x/y)*(1-x/y)dy=0
令x/y=p
x=py
x'=p+p'y
[1+e^(x/y)]dx+ e^(x/y)*[1-x/y]dy=0
[1+e^(x/y)]dx/dy+ e^(x/y)*[1-x/y]=0
(1+e^p)(p+p'y)+e^p*(1-p)=0
p+p'y=-e^p*(1-p)/(1+e^p)
p'y=-e^p*(1-p)/(1+e^p)-p
=(-e^p+e^p*p-p-e^p*p)/(1+e^p)
=(-e^p-p)/(1+e^p)
dp*y/dy=(-e^p-p)/(1+e^p)
(1+e^p)/(e^p+p) dp=-dy/y
d(p+e^p)/(e^p+p)=-dy/y
ln(e^p+p)=-lny+C1
e^p+p=C/y
反代即可
e^(x/y)+(x/y)=C/y
ye^(x/y)+x=C