Question

已知∠AOB=90°，在∠AOB的角平分线上C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别于OA、OB（或

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已知∠AOB=90°，在∠AOB的角平分线上C，将一个三角板的直角顶点与C重合，它的两条直角边分别于OA、OB（或他们的反向延长线）相交于点D、E。当三角板绕点C旋转到CD与OA垂直时（如图1），易得OD+OE=√2OC。当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2，图3这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请证明。若不成立，线段DO、EO、OC之间又有怎样的数量关系？请写出猜想，需证明。

Answer 1

三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，做C点到OA和OB的垂线，分别OA、OB与M、N
明显∠DCM=∠ECN,，CM=CN
∴DM=EN
∴OD+OE=OM+ON=√2OC
当D或E与O点重合时，明显OE或OD=√2OC

Answer 2

1）CD与OA垂直时，根据勾股定理易得OC与OD、OE的关系，将所得的关系式相加即可得到答案．
（2）当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，易得△CKD ≌△CHE，进而可得出证明；判断出结果．解此题的关键是根据题意找到全等三角形或等价关系，进而得出OC与OD、OE的关系；最后转化得到结论．解答：解：（1）当CD与OA垂直时，
∵△CDO为Rt△，
∴OC= ，
∴ ，
而OD+OE=OD+OD=2OD，
∴OD+OE= ．

（2）过点C分别作CK⊥OA，CH⊥OB，
∵OM为∠AOB的角平分线，且CK⊥OA，CH⊥OB，
∴CK=CH，∠CKD=∠CHE=90°，
又∵∠1与∠2都为旋转角，
∴∠1=∠2，
∴△CKD ≌△CHE，
∴DK=EH，
∴OD+OE=OD+OH+EH=OD+OH+DK=OH+OK．
由（1）知：OH+OK= ，
∴OD+OE= ．

（图3）结论不成立．
OD，OE，OC满足 ．