Question

基本高数求解！

如图，证明下列不等式
好像要用拉格朗日中值定理……

Answer 1

（1）考虑函数f(x)=arctanx,f'(x)=1/(1+x²）>0,增函数
根据拉格朗日中值定理，存在ξ∈(a,b)
f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)=(b-a)/(1+ξ²）
f(b)-f(a)与（b-a）同号（增函数），
所以|f(b)-f(a)|=|b-a|/(1+ξ²）≤|b-a|
（3）利用函数的单调性：
f(x)=ln(1+x)-x,f'(x)=1/(1+x)-1<1-1=0,减函数，f(x)<f(0)=0,ln(1+x)-x<0，ln（1+x）<x；
设g(x)=x/(1+x)-ln(1+x)
g'(x)=1/(1+x)-x/(1+x)²-1/（1+x）=-x/(1+x)²<0,g(x)减函数，g（x）＜g(0)=0,
x/(1+x)<ln(1+x)

追问

（3）有没有用拉格朗日中值定理做的方法呀

追答

就是中值定理。