Question

如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的2倍，椭圆经过点M（2，1），平行于OM的直线L在y

如图,已知椭圆的中心在原点,焦点在x轴上,长轴长是短轴长的2倍，椭圆经过点M（2，1），平行于OM的直线L在y 轴上的截距m（m不等于0），L交椭圆A,B两个不同点。求椭圆的方程和m的取值范围

Answer 1

1、设椭圆的长轴为a,则短轴为a/2,焦点在x轴上
椭圆方程可表示为 x^2/a^2+y^2/(a/2)^2=1
把（2，1）代入椭圆方程
4/a^2+1/(a^2/4)=1
4/a^2+4/a^2=1
a^2=8,a^2/4=2
所以椭圆方程为 x^2/8+y^2/2=1

2、根据两点式，OM所在直线方程为
(y-0)/(1-0)=(x-0)/(2-0)
化简得 y=x/2
直线l平行于OM，所以l的斜率为1/2
又因为当x=0,y=m
所以l的解析式为 y=x/2+m
把 y=x/2+m 代入椭圆方程
x^2/8+(x/2+m)^2/2=1
化简得 2x^2-4mx+m^2-8=0
l与椭圆有两个不同的交点，判别式△>0
△=（-4m）^2-4*2*(m^2-8)
=16m^2-8m^2+64
=64-8m^2>0
解得 -2√2<m<2√2

Answer 2

因为长轴为短轴的2倍，且经过点M（2，1），则可易知椭圆方程，b=根号2，a为b的两倍。再计算m，因为直线L交椭圆两点，而椭圆的y值处于-b与b之间，则可简单求出截距为b时的情况，但求出该直线时需要代入椭圆验算，判读是否有两个交点。如果有，则0<m<=b；如果没有两个交点，则假设该直线方程为y=2x+c,代入椭圆方程，令该方程只有一个实根，则可求出c。在这种情况下，0<m<|c|.