Question

已知y=f(x)=xlnx.

已知y=f(x)=xlnx.
(1)求函数y=f(x)的图像在x=e处的切线方程；
（2）设实数a>0，求函数F(x)=f(x)/a在[a,2a]上的最大值。
（3）证明对一切x∈(0,+∞),都有lnx>1/e^x-2/ex成立。
给过程

Answer 1

1、切线方程 x=e 点 y=f（e）=elne=e
斜率k=f'(x)=lne+e/e=2 y=f(x)=2（x-e)+e=2x-e
2、F(x)=f(x)/a=xlnx/a 求导 （lnx+1）/a a>0 所以倒数为增函数
x属于[a,2a]
（lna+1）/a (ln2a+1)/a
（lna+1）/a >0 a>1/e 导数大于0 F（x）为增 最大值为2ln（2a）
(ln2a+1)/a<0 0< a<1/(2e)导数小于0 F（x）为减 最大值为ln（a）
x∈(0,+∞),假设 xlnx>x/e^x-2/e ---------》 x（lnx-e^(-x)）>-2/e
令 g（x）= x（lnx-e^(-x)） 求导 的 lnx-e^(-x)+1+e^(-x)=lnx+1
当lnx+1>0 即 x>1/e g(x) 为增
当lnx+1<0 即 0<x<1/e g(x) 为减
当lnx+1<0 即 x=1/e g(x) 取最小值 1-e^(-1/e)>0 即>-2/e
xlnx>x/e^x-2/e 成立

Answer 2

切线方程 x=e 点 y=f（e）=elne=e
斜率k=f'(x)=lne+e/e=2 y=f(x)=2（x-e)+e=2x-e
2、F(x)=f(x)/a=xlnx/a 求导 （lnx+1）/a a>0 所以倒数为增函数
x属于[a,2a]
（lna+1）/a (ln2a+1)/a
（lna+1）/a >0 a>1/e 导数大于0 F（x）为增 最大值为2ln（2a）
(ln2a+1)/a<0 0< a<1/(2e)导数小于0 F（x）为减 最大值为ln（a）
x∈(0,+∞),假设 xlnx>x/e^x-2/e ---------》 x（lnx-e^(-x)）>-2/e
令 g（x）= x（lnx-e^(-x)） 求导 的 lnx-e^(-x)+1+e^(-x)=lnx+1
当lnx+1>0 即 x>1/e g(x) 为增
当lnx+1<0 即 0<x<1/e g(x) 为减
当lnx+1<0 即 x=1/e g(x) 取最小值 1-e^(-1/e)>0 即>-2/e
xlnx>x/e^x-2/e 成立

Answer 3

1、求导，得f'(x)=(xlnx)'=lnx＋1，所以切线的斜率k=f'(e)=2，切点坐标为(e，e)。
2、F'(x)=(1/a)(lnx＋1)，由于a>0，所以F'(x)>0在区间[a，2a]上恒成立，也即F(x)在区间上单调递增，从而最大值为F(2a)。
3、应该是变式后构造函数，利用导数，确定新函数的单调性，再证明其最小值>0。。。思路应该是这样的，构造容易处理难，呵呵。应该属于高三综合卷的压轴题类型了。

Answer 4

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