Question

高三数学，数列题

已知数列An满足 A1=1/2 Sn=N²An 求An

Answer 1

易得a2=1/6、a3=1/12、a4=1/20；
猜想an=1/[n(n+1)]
数学归纳法证明:
①当n=1时，a1=1/2成立；
②假设n=k(k≥2)时，ak=1/[k(k+1)]成立，
则a(k+1)=1/[(k+1)(k+2)]=1/[(k+1)((k+1)+1)]成立，
③得证：an=1/[n(n+1)]

Answer 2

bie201314朋友:归纳-猜想-证明的数学思想运用的好,没有经验的情况下这是一个很好的方法.
但数学归纳法运用时注意传递性要说明,更正如下:
解:易算得a2=1/6、a3=1/12、a4=1/20；
猜想an=1/[n(n+1)]
数学归纳法证明:
①当n=1时，a1=1/2成立；
②假设n=k(k≥2)时，ak=1/[k(k+1)]成立，
那么当n=k+1时,
因为a(k+1)=S(K+1)-Sk=(k+1)^2a(k+1)-k^2ak，
所以k^2ak=[(k+1)^2-1]a(k+1)=k(k+2)a(k+1)
所以a(k+1)=[k/(k+2)]ak=[k/(k+2)]*1/[k(k+1)]=1/[(k+1)(k+2)]成立
综上所述,当n为正整数时,都有an=1/[n(n+1)] .

本题还可有a(n+1)=S(n+1)-Sn来求
a(n+1)=S(n+1)-Sn=(n+1)^2a(n+1)-n^2an
所以(n+2)a(n+1)=nan
所以(n+2)(n+1)a(n+1)=(n+1)nan
又因为2*1a1=1
所以数列{(n+1)nan}是常数为1的数列
所以(n+1)nan=1
所以an=1/[n(n+1)]

Answer 3

猜想+数学归纳法果然不错
顶楼上！

Answer 4

数学归纳法的典型例题