Question

函数的敛散性

第八题

Answer 1

首先级数Σ1/n^k收敛当且仅当k>1。
这里我们利用这个级数的敛散性来讨论本题级数的敛散性
Σ(-1+√(n+1))/n^α
=Σ(-1+√(n+1))(1+√(n+1))/[(1+√(n+1))*n^α]
=Σn/[(1+√(n+1))*n^α]
=Σ1/[(1+√(n+1))*n^(α-1)]
这个级数的敛散性和
Σ1/n^(α-0.5)
一样
所以
当且仅当α-0.5>1时，级数收敛
因此
当α>1.5时，级数收敛
当α≤1.5时，级数发散

Answer 2

设有数列{}与常数，如果对于任意给定的正数(无论它多么小)，x,an 总存在正整数N，使得n > N时，恒有 |x-|<ε. an 则称数列{x}以常数a为极限，记为 n x= (或x,a(n,,)). limannn,, 有极限的数列称为收敛数列;否则称为发散数列。