Question

反常积分∫0到无穷e^(-x^2)dx 为什么有正方形，为什么一个半径是R²一个是2R²

Answer 1

大体思路是对的，但是你这个例题取的区域实在是恶心。其实只要一个圆，然后被积函数是和你图片里面最下面那个一样e^{-x^2-y^2}。积分是在一个半径为R的圆盘内。化成极坐标后，被积函数是re^{-r^2}，对r从0到R积分。做个变量代换求出积分。然后再令R趋于无穷。最后再对得到的数开根号就是了

Answer 2

k1 = ∫0到无穷e^(-x^2)dx
k2 = ∫0到无穷e^(-y^2)dy
k1*k2 =
∫0到无穷
∫0到无穷e^(-x^2)dx e^(-y^2)dy = ∫0到无穷 ∫0到无穷 e^[(-x^2)+(-y^2)dx dy
转到极坐标:
x^2 + y^2 = r^2 ; dxdy = r dr d(theta)
积分是在第一象限:
k1*k2 =
∫ 0到pi/2 [ ∫0到无穷 e^(-r^2)rdr ] d(theta)
=
∫ 0到pi/2 [(1/2) ∫0到无穷 e^(-r^2)d(r^2) ] d(theta)
let z=r^2,
k1*k2 =

∫ 0到pi/2 [(1/2) ∫0到无穷 e^(-z)dz ] d(theta) =

∫ 0到pi/2 (1/2) d(theta) = (1/2)*(pi/2)
= pi/4
so k1 = (pi/4)^(0.5)

追问

我是图没明白😂😂