Question

在椭圆x2+4y2=16中,求通过点M(2,1)且被这点平分的弦所在的直线的方程和弦长

设直线方程为y-1=k(x-2)
直线和椭圆两交点为(x1,y1)(x2,y2)
则有x1²+4y1²=16
x2²+4y2²=16
两式相减得x1²-x2²+4y1²-4y2²=0
即(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0 (1)
因为M(2,1)是点(x1,y1)和点(x2,y2)的中点,则有
(x1+x2)/2=2;(y1+y2)/2=1
x1+x2=4;y1+y2=2
代入(1)式得:
4(x1-x2)+4*2(y1-y2)=0
弦的斜率为 k=(y1-y2)/(x1-x2)=-1/2
设 弦的方程为y=-x/2+m,因为过 M(2,1)点,则有1=-2/2+m,m=2
则方程为y=-x/2+2

不用点差法不行吗？而且我不用点差法怎么也算不对。我用的是设y-1=k(x-2)与椭圆联立用(x1+x2)/2=2不行吗

Answer 1

行
把y=k(x-2)+1代入x²+4y²=16，得(4k²+1)x²-8(2k²-k)x+16k²-16k-12=0(*) ,
(x1+x2)/2=4(2k²-k)/(4k²+1)=2,k=-1/2 ,通过点M(2,1)且被这点平分的弦所在的直线的方程为
y-1=(1/2)(x-2)
把k=-1/2代入(*)式，得2x²-8x=0，x=0或4，直线与椭圆交点为(0,0),(4,2)
弦长为根号(4^2+2^2)=2*根号5

Answer 2

【参数法】解：可设弦PQ的一个端点P(4cost,2sint).则由题设可知，Q(4-4cost,2-2sint).∴(4-4cost)²+4(2-2sint)²=16.===>sint+cost=1.(一）由sint+cost=1可知P(4cost,2sint),Q(4-4cost,2-2sint)=(4sint,2cost).∴直线PQ的斜率k=(2sint-2cost)/(4cost-4sint)=-1/2.由两点式可得直线PQ 的方程:x+2y=4.(二）由sint+cost=1.两边平方得sintcost=0.===>(sint-cost)²=1.===>|sint-cost|=1.由“两点间距离公式”得PQ²=(4sint-4cost)²+(2sint-2cost)²=20(sint-cost)²=20.∴弦长|PQ|=2√5.

Answer 3

用CAD制图就可以了