Question

什么情况下无穷大的倒数不是无穷小？

Answer 1

首先，无穷大的倒数，一定是无穷小。这是没问题的。

即lim（x→x0）1/f（x）=∞，则f（x）是无穷小，这是对的。
但是你想用这个方式定义无穷小，就不行，因为有一些无穷小的倒数不是无穷大，即有一些无穷小，不是通过无穷大的倒数获得的。

例如f（x）=0，就是个无穷小，是常数函数中，唯一的一个无穷小，这个无穷小的倒数就不是无穷大，而是无意义。
此外f（x）=sinx/x，那么当x→∞的时候，f（x）是有界函数乘无穷小，还是无穷小。
但是1/f（x）=x/sinx，在x→∞的时候，无法找到一个x趋近于∞的邻域内，f（x）恒有定义，所以lim（x→∞）x/sinx是非无穷大的极限不存在。不是无穷大。
所以想通过lim（x→x0）1/f（x）=∞，则f（x）是无穷小来定义无穷小，会排除诸如f（x）=0；lim（x→∞）sinx/x这类倒数不是无穷大的无穷小。
所以这样定义就不正确了。

Answer 2

有个前提，恒不为0的无穷小量的倒数，才是无穷大。
如果某个无穷小，恒为0，或在任何去心领域内都有无数个点使得函数值为0，那么气倒数就不是无穷大。
例如f（x）=xsin（1/x），在x→0的时候，是无穷小
但是1/f（x）=1/xsin（1/x），在x→0的时候，无限极，不是∞

Answer 3

这个好像没有这种情况吧😄

追问

追答

可以啊，没啥问题，f（x）必须是无穷小，而不能是个常数，包括零。