Question

复变函数考试，求大神帮助

Answer 1

第一题，1的根号2次方，底数和指数都是正数，这个运算在实数域内是有意义的。如果不在复数域中考虑，它的结果就是1.

在复数域中，

当k=0的时候，取得主值，也就是1.

第二题，先对被积函数的分母进行因式分解：

下面把一个积分回路和被积函数的奇点画出来：

因为路径包围的区域有两个奇点，这时考虑构造复合闭路。

构造的第一种方式：

上图的两个小回路分别以z=0和z=1/2为圆心，半径足够小。这时候两个小回路和外面的一个大回路构成复合闭路（为方便起见，三者的轨迹都是圆）

构造的第二种方式：

选择大圆周的某条直径（位于两个奇点中间），分别与两边的半圆构成回路。

当然还有其他的构造方式。但这两种方式是较为常见的。对于本题，因为解题的依据是柯西积分公式，所以两种构造方式没有区别。如果要直接利用参数方程来积分，那么第一种构造方式对计算更加有利。

利用第二种构造方式。设左半圆和中间的直径构成的回路为C1，中间直径和右半圆构成的回路为C2，那么根据复合闭路定理，得到

对右边两项分别应用柯西积分公式，得到

因此原来的积分值为两者之和，结果是0.