求三道题的通解的详细过程,万分感谢
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求下列微分方程的通解:
(1)。y''-2y'+y=x²
解:齐次方程y''-2y'+y=0的特征方程:r²-2r+1=(r-1)²=0有重根 r₁=r₂=1;
故齐次方程的通解为:y=(c₁+c₂x)e^x ;
设其特解为:y*=ax²+bx+c;那么y*'=2ax+b; y*''=2a;
代入原方程得:2a-2(2ax+b)+ax²+bx+c=ax²+(b-4a)x+2a-2b+c=x²
故a=1,b-4a=b-4=0, ∴b=4;2a-2b+c=2-8+c=0,∴c=6;
于是得特解:y*=x²+4x+6;
于是通解为:y=(c₁+c₂x)e^x +x²+4x+6;
(2). y''-5y'+6y=xe^(3x)
解:齐次方程 y''-5y'+6y=0的特征方程 r²-5r+6=(r-2)(r-3)=0的根 r₁=2,r₂=3;
故齐次方程的通解为:y=c₁e^(2x)+c₂e^(3x);
设其特解 y*=x(ax+b)e^(3x)=(ax²+bx)e^(3x);
于是y*'=(2ax+b)e^(3x)+3(ax²+bx)e^(3x)=[3ax²+(2a+3b)x+b]e^(3x);
y*''=(6ax+2a+3b)e^(3x)+3[3ax²+(2a+3b)x+b]e^(3x)=[9ax²+(12a+9b)x+2a+6b]e^(3x)
代入原式并消去e^(3x)得:[9ax²+(12a+9b)x+2a+6b]-5[3ax²+(2a+3b)x+b]+6(ax²+bx)
=2ax+2a+b=x;故a=1/2,2a+b=1+b=0,∴b=-1;于是特解 y*=[(1/2)x²-x]e^(3x);
故原方程的通解为:y=c₁e^(2x)+c₂e^(3x)+[(1/2)x²-x]e^(3x);
注:第(3)题太麻烦了,如果你一定要作,在追问时再回答你。
(1)。y''-2y'+y=x²
解:齐次方程y''-2y'+y=0的特征方程:r²-2r+1=(r-1)²=0有重根 r₁=r₂=1;
故齐次方程的通解为:y=(c₁+c₂x)e^x ;
设其特解为:y*=ax²+bx+c;那么y*'=2ax+b; y*''=2a;
代入原方程得:2a-2(2ax+b)+ax²+bx+c=ax²+(b-4a)x+2a-2b+c=x²
故a=1,b-4a=b-4=0, ∴b=4;2a-2b+c=2-8+c=0,∴c=6;
于是得特解:y*=x²+4x+6;
于是通解为:y=(c₁+c₂x)e^x +x²+4x+6;
(2). y''-5y'+6y=xe^(3x)
解:齐次方程 y''-5y'+6y=0的特征方程 r²-5r+6=(r-2)(r-3)=0的根 r₁=2,r₂=3;
故齐次方程的通解为:y=c₁e^(2x)+c₂e^(3x);
设其特解 y*=x(ax+b)e^(3x)=(ax²+bx)e^(3x);
于是y*'=(2ax+b)e^(3x)+3(ax²+bx)e^(3x)=[3ax²+(2a+3b)x+b]e^(3x);
y*''=(6ax+2a+3b)e^(3x)+3[3ax²+(2a+3b)x+b]e^(3x)=[9ax²+(12a+9b)x+2a+6b]e^(3x)
代入原式并消去e^(3x)得:[9ax²+(12a+9b)x+2a+6b]-5[3ax²+(2a+3b)x+b]+6(ax²+bx)
=2ax+2a+b=x;故a=1/2,2a+b=1+b=0,∴b=-1;于是特解 y*=[(1/2)x²-x]e^(3x);
故原方程的通解为:y=c₁e^(2x)+c₂e^(3x)+[(1/2)x²-x]e^(3x);
注:第(3)题太麻烦了,如果你一定要作,在追问时再回答你。
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