Question

求三道题的通解的详细过程，万分感谢

Answer 1

求下列微分方程的通解：
(1)。y''-2y'+y=x²
解：齐次方程y''-2y'+y=0的特征方程：r²-2r+1=(r-1)²=0有重根 r₁=r₂=1；
故齐次方程的通解为：y=(c₁+c₂x)e^x ;
设其特解为：y*=ax²+bx+c；那么y*'=2ax+b； y*''=2a；
代入原方程得：2a-2(2ax+b)+ax²+bx+c=ax²+(b-4a)x+2a-2b+c=x²
故a=1，b-4a=b-4=0, ∴b=4；2a-2b+c=2-8+c=0，∴c=6；
于是得特解：y*=x²+4x+6；
于是通解为：y=(c₁+c₂x)e^x +x²+4x+6；
(2). y''-5y'+6y=xe^(3x)
解：齐次方程 y''-5y'+6y=0的特征方程 r²-5r+6=(r-2)(r-3)=0的根 r₁=2，r₂=3；
故齐次方程的通解为：y=c₁e^(2x)+c₂e^(3x);
设其特解 y*=x(ax+b)e^(3x)=(ax²+bx)e^(3x)；
于是y*'=(2ax+b)e^(3x)+3(ax²+bx)e^(3x)=[3ax²+(2a+3b)x+b]e^(3x);
y*''=(6ax+2a+3b)e^(3x)+3[3ax²+(2a+3b)x+b]e^(3x)=[9ax²+(12a+9b)x+2a+6b]e^(3x)
代入原式并消去e^(3x)得：[9ax²+(12a+9b)x+2a+6b]-5[3ax²+(2a+3b)x+b]+6(ax²+bx)
=2ax+2a+b=x；故a=1/2，2a+b=1+b=0，∴b=-1；于是特解 y*=[(1/2)x²-x]e^(3x);
故原方程的通解为：y=c₁e^(2x)+c₂e^(3x)+[(1/2)x²-x]e^(3x);
注：第（3）题太麻烦了，如果你一定要作，在追问时再回答你。

Answer 2

如图所示