Question

求一道高数定积分计算问题

Answer 1

　　解：分享一种解法。
　　设原式=I，再设x=-t，
　　∴I=∫(-π/2,π/2)[e^(-t)](sint)^2dt/[1+e^(-t)]=∫(-π/2,π/2)(sint)^2dt/(1+e^t)，
　　∴2I=∫(-π/2,π/2)(sinx)^2dx/(1+e^x)+∫(-π/2,π/2)(e^x)(sinx)^2dx/(1+e^x)=∫(-π/2,π/2)(sinx)^2dx=∫(0,π/2)(1-cos2x)dx=π/2，
　　∴原式=I=π/4。
　　供参考。

追问

为什么经过第一步x=-t变换后，I的值不会变呢？

追答

“换元”的过程须“简化”计算结果，而不改变被积函数的特性使然。