Question

1/(x-1)在x=0处展开成幂级数

Answer 1

这题可以直接代公式，就是1/(1-x)的幂级数。
不过，这里我再写下求解的具体步骤。
f(x)和各阶导数如下
f'(x) = -1/(x-1)²
f''(x) = 2/(x-1)³
f'''(x) = -2*3 / (x-1)^4
.
f(n)(x) = (-1)^n n!/ (x-1)^(n+1)
根据泰勒级数公式可以得到
f(x)
= f(0) + f'(0)x/1! + f''(0)x²/2! + f'''(0)x³/3! + ......+f(n)(0)x^n/n! + ......
=-1 - x - x² - x³ - ......+(-1) x^n + ......
=∑-x^n
n从0到∞
|x|＜1

Answer 2

1/(x-1)=-1+x-x^2+x^3-x^4+x^5-x^6+...