Question

系统的阶跃响应的形式与系统特征根的情况有何关系

Answer 1

一、一阶系统
　　用一阶微分方程描述的系统。

二、一阶系统典型的数学模型　

　 　

三、典型输入响应
1.单位阶跃响应　　　　　　　
　　　　　　　　　　　。

　　y(t)的特点：
　　（1）由动态分量和稳态分量两部分组成。
　　（2）是一单调上升的指数曲线。
　　（3）当t=T时，y=0.632。
　　（4）曲线的初始斜率为1/T。
　　性能分析：
　　（1）超调量σ% 不存在。
　　（2）ts=3T或4T。

2.单位斜坡响应
　　　　　　　　　　　
　　y(t)的特点：
　　（1）由动态分量和稳态分量两部分组成。
　　（2）输入与输出之间存在跟踪误差，且误差 值等于系统时间常数“T”。

3.单位抛物线响应

　　　　　　　　　　 　

　　y(t)的特点：
　　输入与输出之间存在误差为无穷大，这意味着一阶系统是不能跟踪单位抛物线输入信号的。

4.单位脉冲响应
　　　　　　　　　　
　　y(t)的特点：
　　 　　Y(∞) 为t→∞ 时的输出值。
　　对一阶系统典型输入响应的两点说明：
　　（1）当输入信号为单位抛物线信号时，输出无法跟踪输入。
　　（2）三种响应之间的关系：系统对输入信号微分（积分）的响应，就等于该输入信号响应的微分（积分）。

四、二阶系统典型的数学模型
　　例：
　　　　　　　　　　　　
　　对应的系统结构图：
　　　　　　　　　　　　

　　对应的微分方程：
　　二阶系统典型的数学模型：
　　开环传递函数
　　　　　　　　　　　　
　　开环传递函数
　　　　　　　　　　　　

五、典型二阶系统的单位阶跃响应
　　在初始条件为0下，输入单位阶跃信号时
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　特征方程：
　　特征方程的根：

　　二阶系统响应特性取决于ξ 和 wn两个参数，在ξ 不变情况下取决于 wn 。
1.过阻尼（ξ >1）的情况
　　特征根及分布情况：
　　　 　　　　　　
　　阶跃响应：　
　　响应曲线：　　　　　
2.欠阻尼（ξ <1）的情况
　　特征根及分布情况：
　　　　　　　　　　　　　
　　阶跃响应：　　　　　
　　响应曲线：　　　　　
3.临界阻尼 （ξ =1）的情况
　　特征根及分布情况：
　　阶跃响应：
　　响应曲线：

4.无阻尼 （ξ =0）的情况
　　特征根及分布情况：
　　阶跃响应：
　　响应曲线：
结论：
1、不同阻尼比有不同的响应，决定系统的动态性能。
2、实际工程系统只有在 0< ξ< 1才具有现实意义。

六、二阶系统动态特性指标

　　二阶系统的闭环传递函数为：
　　　　　　　　　　　　　　　　
　　对应的单位阶跃响应为：
　　　　　　　　　　　　　　　　
　　当阻尼比为 0< ξ< 1时，则系统响应如图
　　　　　　　　　　　　　　　　　

1.上升时间 ：在暂态过程中第一次达到稳态值的时间。
　　对于二阶系统，假定情况 0< ξ< 1下，暂态响应：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　令t=tr 时，则y(tr)=1
　　经整理得　　

2.最大超调量σ％ ：暂态过程中被控量的最大数超过稳态值的百分数。

　　即：　　　
　　最大超调量发生在第一个周期中时刻 t=ttp ，叫 tp 峰值时间。
　　在 t=tp 时刻对y(t) 求导，令其等于零。
　　经整理得　　
　　将其代入超调量公式得　　
3.调节时间 ts ：输出量y(t) 与稳态值y(∞) 之间的偏差达到允许范围（±2%～±5%），并维持在允许范围内所需要的时间。
　　　　　　　　　　　　　
结论：
　　若使二阶系统具有满意的性能指标，必须选合适的 ξ，wn 。wn 增大可使t s 下降，可以通过提高开环放大系数k来实现；增大阻尼比，可减小振荡，可通过降低开环放大系数实现。
　　例 有一位置随动系统，结构图如下图所示，其中K=4。
　　（1）求该系统的自然振荡角频率和阻尼比；
　　（2）求该系统的超调量和调节时间；
　　（3）若要阻尼比等于0.707，应怎样改变系统放大倍数K？
　　　　　　　　　　　　　　　　
　　解（1）系统的闭环传递函数为
　　　　 　　　　　　　　　　　　
　 写成标准形式　
　 可知　
　（2）超调量和调节时间
　　　　　　　　　　　　
　 （3）要求ξ=0.707 时，
　　　　　　　　　　　　　

七、提高二阶系统动态性能的方法
1.比例——微分（PD）串联校正
　　未加校正网络前：
　　　　　　　　　　　　

　　加校正网络后：
　　　　　　　　　　　
　校正后的等效阻尼系数：
　　　　　　　　　　　
2.输出量微分负反馈并联校正
　　未加校正网络前：
　　　　　　　　　

　　加校正网络后：
　　　　　　　　　　

　　两种校正方法校正后等效阻尼系数：
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　由于　
　　可得　
　　由于阻尼系数上升，超调量下降，从而提高了系统的动态性能。