Question

第二小问和第三小问，急，数学题

Answer 1

1.
g°f=idx,f°g=idy ,idx,idy 为恒等映射,现证明庆梁,f为单射,g为满射!
设x1,x2∈X,使f(x1)=f(x2)
x1=idx(x1)=g°f（x1）=g°f(x2)=idx(x2)=x2
f为单射!
对任意x,令y=f(x)
x=idx(x)=g°f(x)=g(y)
即：对任意的x,存在y 使g(y)=x
g为满射!
2.
若g°f=idx,f°g=idy ,则f,g为一一映射,且f=g(-1),g=f(-1)
证明：由1知道,f,g均为一一映誉亩运射!
现只需证明对任意的x∈X,y∈Y有
f(-1)(y)=g(y),g(-1)(x)=f(x)
∵f(-1)°f=idx ,g(-1)°g=idy
g(y)=f(-1)°f°g(y)=f(-1)°[f°g(y)]
=f(-1)(y) 对任何y∈Y成耐历立.
f(x)=g(-1)°g°f(x)=g(-1)°[g°f(x)]
=g(-1)(x) 对任何x∈X都成立.
∴f(-1)(y)=g(y),g(-1)(x)=f(x)成立!