Question

利用二重积分求下列曲线所围成区域的面积。 xy=a,xy=b,y=px,y=qx.(0<a<b)(0<p<q)

Answer 1

1)先画个示意图，4个函数都是奇函数，所围成的区域关于原点对称，计算在第一象限的部分面积，再乘以2.x>0时
y=a/x与y=px交于点A(√(a/p),√(ap)),与y=qx交于点B(√(a/q),√(aq));
y=b/x与y=px交于点D(√(b/p),√(bp)),与y=qx交于点C(√(b/q),√(bq)).
由0<a<b,0<p<q,无法确定xA,xC的大小，需讨论。
2）作曲线坐标变换：xy=u,y/x=v,计算雅可比行列式，J=2/v,
∴所求面积=2∫<a,b>du∫<p,q>2dv/v=4(b-a)ln(q/p).
仅供参考。