Question

线性代数第五题，求解

Answer 1

α1,α2,α3,β写成矩阵：

由于β可以由前3个向量线性表出，则

b-2不等于0（否则根据最后1行，可以发现第4个向量无法用前3个列向量线性表出）

即b不等于2

例如，令b=3，则

此时，显然有β = α1+α3

如此时a=1, β表示不唯一，显然有β = α2+α3 = α1+α3

Answer 2

解方程：α1x1+α2x2+2αx3=β
增广矩阵α1α2α3β
1　　　a　　　1　　　2
1　　　1　　　2　　　3
1　　　1　　　b　　　4
做行初等变换
0　　　a-1　　-1　　-1 　　　这行－第2行
1　　　1　　　2　　　3　　　 这行不变
0　　　0　　　b-2　　1　　　 这行－第2行
可得：a≠1，=b≠2
x3=1/(b-2)
x2=(x3-1)/(a-1)=(1/(b-2)-1)/(a-1)
x1=3-2x3-x2=2/(b-2)-(1/(b-2)-1)/(a-1)
所以
β=(3-2x3-x2=2/(b-2)-(1/(b-2)-1)/(a-1))α1+(1/(b-2)-1)/(a-1)α2+α3/(b-2)