Question

这个求和怎么做

把n当成已知数，答案是等号右边的，求过程

Answer 1

分享一种解法，应用欧拉公式及二项展开式公式求解。
用“C(n,i)”表示从n中取出i个的组合数。显然，C(n,i)=(n!)/[i!(n-i)!]。i=0,1,2，……，n。
设S1=∑[sin(iπ/2)]//[i!(n-i)!]，S2=∑[cos(iπ/2)]//[i!(n-i)!]【j为虚数单位，j²=-1】,
∴S2+jS1=[1/(n!)]∑C(n,i)e^(jπi/2)=[1/(n!)][1+e^(jπ/2)]^n=[1/(n!)](1+j)^n。
而，1+j=(√2)[cos(π/4)+jsin(π/4)]=(√2)e^(jπ/4)，
∴S2+jS1=[1/(n!)][(√2)e^(jπ/4)]^n=[1/(n!)][(√2)^n]e^(jnπ/4)。
∴原式=S1=[1/(n!)][2^(n/2)]sin(nπ/4)。
供参考。