Question

有理函数积分问题

∫x^3/(x+3)dx 这种要怎么换元?
希望有高手顺便把几种常见类型及做题的方向总结一下,拜谢!
能总结一下这类型的问题的解题方向吗,主要是解题的思维一般什么途径最快最方便

Answer 1

分子的次数高于分母，那么首先将假分式化为真分式与整数项的和，再分别积分
∫x^3/(x+3)dx
=∫(x^2-3x+9x)dx-∫27/(x+3)dx
后面就简单了，不写了
换元积分法是将积分函数变为我们常见的函数形式，以便于我们进行积分
如果无法进行直接换元，那么就尝试将函数进行变形

Answer 2

分子加二十七再减二十七

Answer 3

x^3=(x+3)^3-9x(x+3)-27

∫[x^3/(x+3)]dx
=∫[(x+3)^3]dx/(x+3)-∫[9x(x+3)/(x+3)]dx-(∫27dx)/(x+3)
=∫[(x+3)^2]d(x+3)-∫9xdx-[∫27d(x+3)]/(x+3)
=(x+3)^3/3-9x^2/2-27ln(x+3)+C
化简即可