Question

F（x）=（积分号x^2到x）（（sin（xy））/y）dy，则F'（x）=？

Answer 1

x≠0时，令t=xy→dt=xdy→dy=dt/x y=x时，t=x² y=x²时 t=x³
∴F(x)=∫(x²,x³)[sin(t)]/tdt→
F'(x)=[sin(x³)/x³]·(x³)'-[sin(x²)/x²]·(x²)'=[3sin(x³)/x]-[2sin(x²)/x²]=[3sin(x³)-2sin(x²)]/x
x=0时，F(0)=0 (积分限相同)
F'(x)=lim(x→0)[F(x)-F(0)]/(x-0) 0/0型 洛必达法则
=lim(x→0)F'(x)/1=lim(x→0)[3sin(x³)-2sin(x²)]/x=0
综上：F'(x)=[3sin(x³)-2sin(x²)]/x x≠0
F'(x)= 0 x=0

Answer 2

含参积可微公式
原式=积分(x^2到x）cosxy dy + sin（x^2）/x －2sin（x^3）/x