高等数学如图 50
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解：积分区域D的面积δ=πr^2，根据二重积分的性质，在D内至少存在一点(η,ξ)，使∫∫Df(x,y)dxdy=f(η,ξ)δ=f(η,ξ)πr^2。
而，(η,ξ)∈(x,y)，当r→0时，(x,y)→(0,0)，∴(η,ξ)→(0,0)。又，lim[(η,ξ)→(0,0)f(η,ξ)=lim[(η,ξ)→(0,0)[e^(η^2-ξ^2]cos(η+ξ)=1，
∴原式=lim(r→0)[1/(πr^2)]f(η,ξ)πr^2=lim[(η,ξ)→(0,0)]f(η,ξ)=1。
供参考。
而，(η,ξ)∈(x,y)，当r→0时，(x,y)→(0,0)，∴(η,ξ)→(0,0)。又，lim[(η,ξ)→(0,0)f(η,ξ)=lim[(η,ξ)→(0,0)[e^(η^2-ξ^2]cos(η+ξ)=1，
∴原式=lim(r→0)[1/(πr^2)]f(η,ξ)πr^2=lim[(η,ξ)→(0,0)]f(η,ξ)=1。
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