Question

在极坐标下交换积分次序的一道题。

Answer 1

1、本题的积分区域，请参看下面的第一张图片；

2、原来的积分次序，一次性地包括了粉红色部分跟草绿色部分；

3、交换积分次序后，积分区域就变成了两部分 ： 粉红色部分 + 草绿色部分；

4、极坐标积分的积分次序的意思是：

A、先对 r 积分的意思

---一个极经，从原点射出 r = 0，射到极坐标方程的曲线上；

---然后这个极经，逆时针扫过的角度，就是θ的范围。

B、先对 θ 积分的思想

---从圆心开始画同心圆弧，圆弧的角度，也就是圆心角 central angle，

逆时针从最下方的曲线或直线上的角度，扫到最上方的曲线或直线上的角度，

这个角度必要用极坐标方程表示，也就是必须是 r 的函数；

---然后从扫过的范围中，确定 r 是从多少到多少，都是具体的数字。

有了这些思想，就容易看懂第二张图片的解答了。