Question

高数 积分证明题

高数 积分证明题请教一下右半边怎么做

Answer 1

因为f'(x)>0，所以f(x)在[a,b]上严格递增，即f(x)>f(a)
∫(a,b)f(x)dx>∫(a,b)f(a)dx=(b-a)f(a)
另外，令x=(1-t)a+tb，则dx=(b-a)dt
∫(a,b)f(x)dx=∫(0,1)f[(1-t)a+tb]*(b-a)dt
因为f''(x)>0，所以f(x)在[a,b]上是严格凹函数，即f[(1-t)a+tb]<(1-t)f(a)+tf(b)
所以∫(a,b)f(x)dx<∫(0,1)[(1-t)f(a)+tf(b)]*(b-a)dt
=(b-a)*∫(0,1) {[f(b)-f(a)]t+f(a)}dt
=(b-a)*{[f(b)-f(a)]/2*t^2+f(a)t}|(0,1)
=(b-a)*[f(b)+f(a)]/2
综上所述，(b-a)f(a)<∫(a,b)f(x)dx<(b-a)*[f(b)+f(a)]/2