Question

求下列微分方程通解

求下列微分方程通解求过程！谢谢

Answer 1

求下列微分方程的通解：

解：先求齐次方程(1/√y)y'-[4x/(x²+1)]√y=0的通解：

分离变量得：dy/y=[4x/(x²+1)]dx；

积分之得lny=∫[4x/(x²+1)]dx=2∫d(x²+1)/(x²+1)=2ln(x²+1)+lnc=ln[c₁(x²+1)²]；

故齐次方程的通解为：y=c₁(x²+1)²；将c₁换成x的函数u，得y=u(x²+1)²...........①

对①求导得：y'=u'(x²+1)²+4ux(x²+1)............②

将①②代入原式并化简得：u'(x²+1)²=x；

故u=∫[x/(x²+1)²]dx=(1/2)∫d(x²+1)/(x²+1)²]=-(1/2)[1/(x²+1)]+c=-1/[2(x²+1)]+c；

代入①式即得原方程的通解为： y=(x²+1)[-(1/2)+c(x²+1)];