Question

高等数学证明级数问题，如图

Answer 1

（1）令cn=b(n+1)-bn
则{cn}的前n项和Sn=c1+c2+...+cn=(b2-b1)+(b3-b2)+...+b(n+1)-bn=b(n+1)
所以lim(n->∞)Sn=lim(n->∞)b(n+1)=+∞
所以级数∑cn发散，即∑(b(n+1)-bn)发散
（2）令dn=1/bn-1/b(n+1)
则{dn}的前n向和Tn=d1+d2+...+dn
=(1/b1-1/b2)+(1/b2-1/b3)+...+[1/bn-1/b(n+1)]
=1/b1-1/b(n+1)
因为lim(n->∞)Tn=lim(n->∞)[1/b1-1/b(n+1)]=1/b1
所以∑dn=∑[1/bn-1/b(n+1)]=1/b1

Answer 2

(1)，∵∑[b(n+1)-bn]=(b2-b1)+(b3-b2)+…+[b(n+1)-bn]=b(n+1)-b1，
∴lim(n→∞)∑[b(n+1)-bn]=lim(n→∞)[b(n+1)-b1]=lim(n→∞)b(n+1)-b1→∞。
按照级数收敛的定义，∴级数lim(n→∞)[b(n+1)-b1]发散。
(2)，∵∑[1/bn-1/b(n+1)]=(1/b1-1/b2)+(1/b2-1/b3)+…+[1/bn-1/bb(n+1)]=1/b1-1/b(n+1)，
∴lim(n→∞)∑[1/bn-1/b(n+1)]=lim(n→∞)[1/b1-1/b(n+1)]=1/b1-lim(n→∞)1/b(n+1)=1/b1。
供参考。

Answer 3

可以用柯西收敛准则去证明

追问

能有过程吗，你说的方法，我们没学