Question

数学分析题

Answer 1

当x>a时，g(x)=(x-a)^n*f(x)
由莱布尼兹公式，g(x)^{n}=∑(k=0->n) C(n,k)*[(x-a)^n]^{n-k}*f(x)^{k}
=∑(k=0->n) n!/[k!*(n-k)!]*(n!/k!)*(x-a)^k*f(x)^{k}
=∑(k=0->n) [(n!/k!)^2]/(n-k)!*(x-a)^k*f(x)^{k}
当x<a时，g(x)=-(x-a)^n*f(x)

由莱布尼兹公式，g(x)^{n}=-∑(k=0->n) C(n,k)*[(x-a)^n]^{n-k}*f(x)^{k}
=-∑(k=0->n) n!/[k!*(n-k)!]*(n!/k!)*(x-a)^k*f(x)^{k}
=-∑(k=0->n) [(n!/k!)^2]/(n-k)!*(x-a)^k*f(x)^{k}
若f(a)=0，则lim(x->a+) g(x)^{n}
=lim(x->a+) ∑(k=0->n) [(n!/k!)^2]/(n-k)!*(x-a)^k*f(x)^{k}
=0
lim(x-a-) g(x)^{n}
=lim(x->a-) -∑(k=0->n) [(n!/k!)^2]/(n-k)!*(x-a)^k*f(x)^{k}
=0
因为lim(x->a+) g(x)^{n}=lim(x-a-) g(x)^{n}，所以g(x)在x=a点处有n阶导数
若f(a)≠0，则lim(x->a+) g(x)^{n}
=lim(x->a+) ∑(k=0->n) [(n!/k!)^2]/(n-k)!*(x-a)^k*f(x)^{k}
=n!*f(a)
lim(x->a-) g(x)^{n}
=lim(x->a-) -∑(k=0->n) [(n!/k!)^2]/(n-k)!*(x-a)^k*f(x)^{k}
=-n!*f(a)
因为lim(x->a+) g(x)^{n}≠lim(x-a-) g(x)^{n}，所以g(x)在x=a点处无n阶导数