Question

设定义在R上的函数f（x）满足f（2x）=2f（x） 1且，f（1）=2．

设定义在R上的函数f（x）满足f（2x）=2f（x） 1且，f（1）=2．
（1）求f（0），f（2），f（4）的值；
（2）若f（x）为一次函数，且g（x）=（x-m）f（x）,若g(x)>0,求m的取值范围。

Answer 1

设t=lnx，则不等式f（lnx）＜2lnx+1等价为f（t）＜2t+1，设g（x）=f（x）-2x-1，则g′（x）=f′（x）-2， ∵f（x）的导函数f′（x）＜2， ∴g′（x）=f′（x）-2＜0，此时函数单调递减， ∵f（1）=3，∴g（1）=f（1）-2-1=3-3=0，则当x＞1时，g（x）＜g（1）=0，即g（x）＜0，则此时g（x）=f（x）-2x-1＜0，即不等式f（x）＜2x+1的解为x＞1，即f（t）＜2t+1的解为t＞1，由lnx＞1，解得x＞e，即不等式f（lnx）＜2lnx+1的解集为（e，+∞），故选：B．