Question

证明“如果多数向量能用少数向量线性表出,那么多数向量一定线性相关”时，有个问题

证明“如果多数向量能用少数向量线性表出,那么多数向量一定线性相关”时，有个问题若向量组α1,α2,…αs可由向量组β1,β2,…βt线性表出，且s>t,则α1,α2,…αs线性相关。
不明白的是，图片中的齐次方程组为什么成立？为什么能等于0？没说线性无关啊

Answer 1

之所以让齐次方程组等于0，是为了满足他上面的式子，这个齐次方程组是β的系数，系数全为0，方程就等0了
然后这个齐次方程组由于方程数t小于未知数个数s必然有非零解，证毕

Answer 2

因为这里可以说是看作β1……β线性无关了，这里无非是两种情况，1、如果β1……βt线性相关那么，直接可以得到α1,α2,…αs线性相关 所以只需要证明第二种情况 即假定β1……βt线性无关 在 β1……βt线性无关的情况下 根据线性无关的定义 可以得到这个线性方程组

Answer 3

可以换个方式理解：少数向量线性无关时将它们看成一个n维空间的基础解系，这个空间的极大线性无关组最多只能有n个向量，再多了就有关了。少数向量线性相关相当于有效向量更少，等价向量空间维度更低，套用上面的解释也能说明结论。

Answer 4

1.如果少数向量相关，多数一定相关。
2.最终通过说明方程组有非零解来说明多数相关，就是解方程，未知数是k(个数为s，αk=0,k与α对应有s个),方程组个数是t(α=aβ,a与β对应有t个),s＞t,未知数比方程组多，显然k有非零解(定义说有非零解等价多数向量相关)。

Answer 5

当少组向量线性相关时，它的组合系数一定不全为0，假设第一个组合系数不为0，则至少有一项ak≠0，则这时的Ki≠0，所以存在一组K1,K2,,,Ki,,,Ks不全为0使得多组向量线性相关。
所以直接证明少组向量线性无关时，即其组合系数全为0，也就构成了齐次线性方程组，当齐次线性方程组有非零解时，命题得证。