Question

二次函数！！

1.已知抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于两点A(x1,0),B(x2,0)与Y轴正半轴交于C,如果x1，x2是方程x2-x-6=0的两个根（x1<x2),且△ABC的面积为7.5。
（1）求此抛物线关系式
（2）求直线AC、BC的函数关系式
(3)如果P是线段AC上的一个动点（不与A、C重合），过点P作直线y=m(m为常数)，与直线BC交于点Q，则在x轴上是否存在点R，使得以PQ为一腰的△PQR为等腰直角三角形？若存在，求出点R坐标，若不在，请说明理由。

2.函数y=x2-（m+1）x-4（m+5）的图像与x轴交于A、B两点，且OA:OB=1:4，试求m的值。

Answer 1

⑴、有x1,x2是方程x²-x-6=0的根，且x1＜x2,解出x1=-2,x2=3.抛物线与x轴交与A（-2,0），B（3,0）得对称轴为x=5／2，△ABC面积=½|AB|×|yc|=7.5，结合C在Y轴正半轴上，解得yc=3，
即C（0,3），三个点坐标带入抛物线方程，得4a-2b+c=0,9a+3b+c=0，c=3，联立三式解得
a=-½,b=½,c=3,则抛物线为y=-½x²＋½x＋3.
⑵、有A,C坐标得AC方程为3x-2y+6=0,同理得BC方程x+y-3=0.
⑶、有题知设P（(2m-6)／3，m），Q（3-m，m），R（n，0）。分三种讨论①QR垂直x轴，则n=3-m，|QR|=|PQ|即m=（3-m）-(2m-6)／3解得m=15／8。即PQ⊥QR且PQ=QR,即三角形为等腰直角三角形。R（9／8,0）。②PR垂直于x轴，得n=(2m-6)／3,PQ=PR得m=15／8,此时PQ和PR垂直且相等，三角形为等腰三角形。R（-3／4，0）。③PR和QR垂直且相等，根据直角三角形性质，R到PQ的距离等于PQ的一半，得m=15／8，R（3／16，0）。