Question

不定积分求助

Answer 1

我们可以进行以下的代换：
令t = √[(x-a)/(x-b)]
则t^2 = (x-a)/(x-b) => t^2(x-b) = x-a => x = (t^2*b + a)/(t^2+1)
dx = [(2tb-a)(t^2+1) - 2t*(t^2*b + a)] / (t^2+1)^2 dt
代入原式得：
∫1/{(x-a)√[(x-a)(x-b)]}dx
= ∫1/{[(t^2b + a)/(t^2+1)] - a)√[(t^2b + a)/(t^2+1) - b)]} * [(2tb-a)(t^2+1) - 2t(t^2*b + a)] / (t^2+1)^2 dt
= ∫1/{(t^2b + a - a(t^2+1))√[(t^2b + a)/(t^2+1) - b)]} * [(2tb-a)(t^2+1) - 2t*(t^2*b + a)] / (t^2+1)^2 dt
= ∫1/{(t^2b - a)√[(t^2b + a)/(t^2+1) - b)]} * [(2tb-a)/(t^2+1) - 2t*a/(t^2+1)^2] dt
= ∫1/{(t^2b - a)√[b - (t^2b + a)/(t^2+1)]} * [(2tb-a)/(t^2+1) - 2t*a/(t^2+1)^2] dt
令 u = b - (t^2*b + a)/(t^2+1)
则 du/dt = -2tb / (t^2+1)^2
代入原式得：
= -1/(b-a) * ∫1/{u*√(b-u)} * [(a+b)/b - (a+b)/u] du
= -1/(b-a) * [(a+b)/b * ∫1/{u*√(b-u)} du - (a+b) * ∫1/{√(b-u)} du]
= -1/(b-a) * [(a+b)/b * (-2√(b-u)) - 2(a+b)*√(b-u)] + C
= 2/(a-b) * (√(b-x) - √(a-x)) + C
因此原式的不定积分为：2/(a-b) * (√(b-x) - √(a-x)) + C。

Answer 2

令x-(a+b)/2=[(b-a)sint/2],t=arcsin{[x-(a+b)/2]/[(b-a)/2]}=arcsin[(2x-a-b)/(b-a)]
d[x-(a+b)/2]=[(b-a)/2]dsint
∫1/√(x-a)(b-x)dx
=∫1/√(x-a)(b-x)dx
=∫1/√[-x²+(a+b)x-ab]dx
=∫1/√{-[x-(a+b)/2]²+(a+b)²/4-ab}dx
=∫1/√{[(b-a)/2]²-[x-(a+b)/2]²}dx
=∫1/√{[(b-a)/2]²-[x-(a+b)/2]²}d[x-(a+b)/2]
=[(b-a)/2]∫1/√{[(b-a)/2]²-[(b-a)sint/2]²}dsint
=[(b-a)/2]∫1/√[(b-a)cost/2]²dsint
=[(b-a)/2]∫cost/[(b-a)cost/2]dt
=∫dt
=t+C
=arcsin[(2x-a-b)/(b-a)]+C
首先把被积函数经过代数变形转化为∫1/√(a²-x²)dx的形式,再作换元x=asint

追问

不是这个题

Answer 3

不妨设 a > b

√[(x-a)(x-b)] = √[x^2-(a+b)x+ab)] = √[x-(a+b)/2]^2-(a-b)^2/4]
令 x-(a+b)/2 = [(a-b)/2]secu, 得 √[(x-a)(x-b)] = [(a-b)/2]tanu
dx = [(a-b)/2]secutanudu
I = ∫dx/{(x-a)√[(x-a)(x-b)]} = 4∫secudu/[(a^2-b^2)secu-4a]
= 4∫du/[(a^2-b^2)-4acosu]
令 t = tan(u/2), 得 cosu = (1-t^2)/(1+t^2), du = 2tdt/(1+t^2)
I = 4∫2tdt/(1+t^2)/[(a^2-b^2)-4a(1-t^2)/(1+t^2)]
= 4∫2tdt/[(a^2-b^2)(1+t^2)-4a(1-t^2)]
= [4/(a^2-b^2+4a)]∫d(a^2-b^2+4a)t^2/[(a^2-b^2-4a)+(a^2-b^2+4a)t^2]
= [4/(a^2-b^2+4a)]ln|(a^2-b^2-4a)+(a^2-b^2+4a)t^2| + C
= [4/(a^2-b^2+4a)]ln|(a^2-b^2-4a)+(a^2-b^2+4a)[tan(u/2)]^2| + C
= [4/(a^2-b^2+4a)]ln|(a^2-b^2-4a)
+ (a^2-b^2+4a)[tan^2{arccos[(a-b)/(2x-a-b)]/2)}| + C