Question

一条很简单的高二数学题

已知a∈R，函数当X＞0时，f（x）=1-1/x，当x≤0时，f（x）=（a-1）x+1。
（1）证明：函数f（x）在（0，正无穷）上单调递增
（2）求函数f（x）的零点
其实是高一数学题

Answer 1

（1）定义法证明：设x1>x2>0，则：
f(x1)-f(x2)=(1-1/x1)-(1-1/x2)=1/x2 - 1/x1 =(x1-x2)/x1*x2 >0
即x1>x2>0时，f(x1)>f(x2)
故函数f（x）在（0，正无穷）上单调递增
（2）解：令f（x）=0
当X＞0时，f（x）=1-1/x=0 所以x=1
当x≤0时，f（x）=（a-1）x+1 =0
当a≤1时，无解 ，
当a>1时，x=1/(1-a).
综上，当a≤1时函数f（x）的零点为x=1，
当时，a>1时函数f（x）的零点为x=1 和 x=1/(1-a).

Answer 2

(1)证明：x∈（0，+∞）时，f（x）=1-1/x；则f（x+1）=1-1/（x+1），f（x+1）-f（x）=1-1/（x+1）-(1-1/x)=1/x-1/(x+1)=1/(x2+x)＞0，得证
（2）f（x）=0，
若X＞0，f（x）=1-1/x=0，x=1，符合；
若x≤0，f（x）=（a-1）x+1=0，x=1/(1-a)≤0,a＞1
即，当a≤1时，f（x）有一个零点，x=1，当a＞1时，f（x）有两个零点，x=1和x=1/(1-a)。

Answer 3

证明：任取x1,x2属于x>0且x1>x2,f(x1)=1-1\x1,f(x2)=1-1\x2,
f(x1)-f(x2)>0
所以函数f(x)在( 0,正无穷 )上单调递增
(2)自己要证明出x<=0时,f(x)单调递减(如(1 )证)
则可知f(x)的零点为0

Answer 4

（1）设x1>x2>0，则在（0，正无穷）上
f(x1)-f(x2)=(1-1/x1)-(1-1/x2)=1/x2 - 1/x1 =(x1-x2)/x1*x2 >0
即f(x1)>f(x2)，故函数f（x）在（0，正无穷）上单调递增
（2）当x>0时, f(1)=0
x《0时，且a不等于1时,f(x)=0,得x=1/(1-a)

Answer 5

（1）设0<X1<X2, f（x1）-f（x2）==1-1/x1-(1-1/x2)=(x1-x2)/x1x2
因为0<X1<X2，所以f（x1）-f（x2）<0 所以函数f（x）在（0，正无穷）上单调递增
（2）当X＞0时，f（x）=1-1/x=0 所以x=1
当x≤0时，f（x）=（a-1）x+1 =0 当a小于等于1时不存在零点 当a大于1时，x=1/(1-a)
综上，当X＞0时零点为x=1 当x≤0时，a大于1时零点为x=1/(1-a) 当a小于等于1时不存在零点