Question

数学中，下面一不等式怎么证明来着？求解。

Answer 1

1．当x＝1时，
显然有：（x^2－1）lnx＝（x－1）^2。
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2．当x＞1时，
显然有：x^2＋1＞0，∴x^2＋2x＋1＞2x，∴（x＋1）^2＞2x，
∴1/x＞2/（x＋1）^2，∴1/x－2/（x＋1）^2＞0，∴［lnx＋2/（x＋1）－1］′＞0，
∴f（x）＝lnx＋2/（x＋1）－1在（1，＋∞）上是增函数，又f（1）＝0，
∴在（1，＋∞）上有：lnx＋2/（x＋1）－1＞0，∴lnx＞1－2/（x＋1），
∴lnx＞（x－1）/（x＋1），∴（x－1）lnx＞（x－1）^2/（x＋1），
∴（x^2－1）lnx＞（x－1）^2。
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3．当0＜x＜1时，
令y＝1/x，则有：y＞1，∴由2的结论，有：（y^2－1）lny＞（y－1）^2，
∴（1/x^2－1）ln（1/x）＞（1/x－1）^2，
∴（1－x^2）·（－lnx）＞（1－x）^2，∴（x^2－1）lnx＞（x－1）^2。
－－－－－－
综上1、2、3，得：当x＞0时，有：（x^2－1）lnx＞（x－1）^2。

Answer 2

作差，然后求导数，