Question

高中数学不等式？

上面做法出现偏差的是为什么呢，为什么上下两种做法结果不等

Answer 1

方法一弱化了约束。您考虑一下取等。如果3a-3b=2，必有b-a=-2和4a-4b=4。4a-4b=4时有a-b=1，而b-a=-2时a-b=2。所以显然是不可能取等的。不但不可能取等，等号附近的值也取不到。
事实上，本问题中 a-b 可以看成一个变量，a-b 和 b-a 是受一个变量约束的（也就是说它们不可能分别取任意数值）。而最值直接相加无视了这种约束，所以弱化了条件。
UPD:（追答不知为何不显示，我答在这里了。）
对不起，之后没在线。
运算过程是正确的，结果作为表达式来说也是对的，但并不能作为取值范围。一般取值范围的要求是：在该范围内的每个值都可取到，而不在该范围内的每个值都不可取到。而（-2/3，7/3）只满足第二条。
至于“不等量转化”，我必须承认我没听说过这个概念。经过百度，我的理解是：对于推理“A=>B”，如果在不知
A 只知 B 时“B=>A”也成立，则条件 A 转化为条件 B
就是等量转化。如果“A=>B”成立而“B=>A”不成立，就是不等量转化。
显然不等量转化把原条件转化成了更弱的条件，例如由“3<x<5”推出 "2<x<6" 是成立的，但是后者的约束力却不及前者。

以本题为例，为方便描述，令 a-b=c，不等号下的等号线也不写了。
方法一可概括为：
1<c<2 推出 -2<-c<-1 且 4<4c<8
，这两个即使只有一个也可以反向推出原条件，所以没有削弱。接下来 -2<-c<-1 且 4<4c<8 推出
2<3c<7 则显然是不能逆过来的，所以这一步一定有削弱。
不等量转化也是正确的推理，但是由“取值范围”的第一条要求可以看出，由取值范围一定是可以推回原条件的。所以解取值范围一般用等量转化。

追问

如果3a-3b=2，必有b-a=-2和4a-4b=4。

请问您这个必有是怎么出来的？

还有请问上面的那个的运算过程对吗?出现范围扩大与不等式的不等量转化有关吗

您还在线吗

追答

对不起，之后没在线。
运算过程是正确的，结果作为表达式来说也是对的，但并不能作为取值范围。一般取值范围的要求是：在该范围内的每个值都可取到，而不在该范围内的每个值都不可取到。而（-2/3，7/3）只满足第二条。
至于“不等量转化”，我必须承认我没听说过这个概念。经过百度，我的理解是：对于推理“A=>B”，如果在不知 A 只知 B 时“B=>A”也成立，则条件 A 转化为条件 B 就是等量转化。如果“A=>B”成立而“B=>A”不成立，就是不等量转化。
显然不等量转化把原条件转化成了更弱的条件，例如由“3<x<5”推出 "2<x<6" 是成立的，但是后者的约束力却不及前者。

以本题为例，为方便描述，令 a-b=c，不等号下的等号线也不写了。
方法一可概括为： 1<c<2 推出 -2<-c<-1 且 4<4c<8 ，这两个即使只有一个也可以反向推出原条件，所以没有削弱。接下来 -2<-c<-1 且 4<4c<8 推出 2<3c<7 则显然是不能逆过来的，所以这一步一定有削弱。
不等量转化也是正确的推理，但是由“取值范围”的第一条要求可以看出，由取值范围一定是可以推回原条件的。所以解取值范围一般用等量转化。

追问

十分感谢您的解答。
我还有一点不懂。做题时我如何保正我进行的是等量转化避免使用不等量转化。

您的回答不是只说了如果3a－3b=2，也没说1≦a，2≦b呀。

追答

3a-3b 是 b-a 何 4a-4b 相加得到的。假设 b-a=x，4a-4b=y，则3a-3b=x+y。

题目条件等价于（我只写马上要用的部分）：x大于等于-2，y大于等于4。

由此推出 x+y大于等于2

显然，只有x和y都取到最小时x+y 才能取到 2。

但实际上 x和y 都取到最小是不可能的。

取极值只是证明这个方法不对，至于为什么它不对就要考虑约束有没有弱化。
b-a 和 4a-4b 是有关系的，但换成 x，y的时候这个关系就被忘掉了。所以条件就弱化了。

有的题是允许不等价转化的。比如放缩法证明不等式。

但取值范围根据概念可以看出是要等价转化的。

判断等不等价最简单是直接试试能不能推回去

但实际上我一般根据直接感觉判断。

比如两个（不等效的）二元方程弄成了一个二元方程，肯定是不等价的。

这个题第一种方法的第二步，四个不等号变成了两个，也可以估计是不等效的。

追问

哦哦这次您说的我听懂了，太谢谢您了，非常感谢！