Question

定积分性质哪个是对的？

第一个是f函数关系任意 第二个是sin的n次方 侧重点不同 哪个对？
就比如图二可以这样做吗？





Answer 1

(1)

let

u=π-x

du= -dx

x=π/2, u=π/2

x=π, u=0

∫(0->π) f(sinx) dx

=∫(0->π/2) f(sinx) dx +∫(π/2->π) f(sinx) dx

=∫(0->π/2) f(sinx) dx +∫(π/2->0) f(sinu) (-du)

=∫(0->π/2) f(sinx) dx +∫(0->π/2) f(sinu) du

=∫(0->π/2) f(sinx) dx +∫(0->π/2) f(sinx) dx

=2∫(0->π/2) f(sinx) dx

(3)

利用 （1） 的结果

∫(0->π) f(sinx) dx= 2∫(0->π/2) f(sinx) dx

f(sinx) = (sinx)^n

∫(0->π) (sinx)^n dx

=2∫(0->π/2) (sinx)^n dx

(3)

sinx/(1+(cosx)^2) = sinx/(2-(sinx)^2)

f(sinx) =sinx/(2-(sinx)^2)

利用 （1） 的结果

∫(0->π) f(sinx) dx= 2∫(0->π/2) f(sinx) dx

∫(0->π)  sinx/(1+(cosx)^2) dx

=2∫(0->π/2)  sinx/(1+(cosx)^2) dx

追问

都对的了？

追答

都对!

追问

如果就是cos本身才有这个特别的性质吧？

并且图二那样可以吗

追答

图2
sinx/(1+(cosx)^2) = sinx/(2-(sinx)^2)
f(sinx) =sinx/(2-(sinx)^2)
那也是
f(x)= x/(2-x^2)
f(sinx) = sinx/(2-(sinx)^2) 的形式， 当然也可以！