Question

换元法求值域的原理

Answer 1

换元法求值域的原理:通过引进新的变量，可以把分散的条件联系起来，隐含的条件显露出来，或者把条件与结论联系起来。或者变为熟悉的形式，把复杂的计算和推证简化。
　　它可以化高次为低次、化分式为整式、化无理式为有理式、化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等问题中有广泛的应用。
　　解一些复杂的因式分解问题，常用到换元法，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，则能使复杂的问题简单化，明朗化，在减少多项式项数,降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用。

Answer 2

解析式是变化的，不变的是整个函数的本质；
所谓换元法，就是把不熟悉的函数解析式，变换成我们所学过的函数类型的方法来解决问题。
也就是在原来解析式不太容易看出来我们所学过的函数类型的情况下，或者是所求函数含有根式等不容易化简计算的情况，我们利用把某些部分整体看成一个元素来进行运算。
但是本质上函数的部分没有大的改变，但是外在形式上和原来不太一样；
如：y=x+√(1-x)
整个根式内是一个整体，那么我就可以把整个根式看成一个元素，方便和我们所学过的函数联系；
故：令t=√(1-x)≥0，则x=1-t^2
∴y=1-t^2+t=-t^2+t+1，t≥0
就成了关于t的二次函数求值域了，因为是恒等变换（因为加了t的范围），所以关于t的二次函数值域等于原函数值域。