Question

高数题目

Answer 1

4sin²xsinxcosx=1
（1-cos2x）sin2x=1
sin2x-sin2xcos2x=1
设t=tanx，sin2x=2t/（1+t²），cos2x=（1-t²）/（1+t²）
x∈[0,π],t∈(-∞，+∞)
代入：
2t/（1+t²）-2t/（1+t²）.（1-t²）/（1+t²）=1
2t（1+t²）-2t（1-t²）=（1+t²）²
2t+2t³-2t+2t³=1+2t²+t^4，
t^4-4t³+2t²+1=0
1-4+2+1=0，t=1是解：
t^4-t³-3t³+3t²-t²+t-t+1=0
t³（t-1）-3t²（t-1）-t（t-1）-（t-1）=0
（t-1）（t³-3t²-t-1）=0
t1=1
f（t）=t³-3t²-t-1=0
f'(t)=3t²-6t-1=3（t²-2t+1）-1-3=3（t-1）²-4=3（t-1-2/√3）（t-1+2/√3）
极值点t=1+2/√3，1-2/√3
f(1+2/√3）=-7.079（极小值）,f(1-2/√3）=-0.9208（极大值），
f(3)=-4,f(4)=11

f(t）=0,只有1个根，位于(3,4)之间。
如此，方程只有2个根。

Answer 2

构造函数，求导获得极值点的位置坐标，然后描绘函数图像判断零点的个数即可。

Answer 3

一生用不到

Answer 4

好难啊，