Question

分段函数在一点处左右极限都存在且相等，但不等于这点的函数值，这点的极限是否是存在的？

Answer 1

分段函数在这点的极限是存在的，函数极限是否存在跟函数在该点是否有定义，是否连续没有关系，只要能找到该点的某一去心邻域(不含该点)，对于任意的正数ε，在该去心邻域内都有|f(x)–A|<ε,就说存在极限A。左右极限存在与极限存在可以互推。

追问

假如有分段函数
x=0时f(x)=2;
x≠0时f(x)=8;
x->0属于有极限？

追答

极限为8，因为存在x=0的一个去心邻域，例如取邻域半径为0.5，在此去心邻域内(不含0)，函数值f(x)=8，f(8)-8=0小于任意正数ε，符合函数极限的定义。