Question

已知a+b>0，求证a立方+b立方大于等于a平方*b+a*b平方

Answer 1

a^2/b+b^2/a

=(a^3+b^3)/ab

=(a+b)(a^2+b^2-ab)/ab

因为(a^2+b^2-ab)/ab

=(a^2+b^2)/ab-1

而由（a-b)^2>=0,可知：a^2+b^2>=2ab

所以
(a^2+b^2)/ab-1>=2ab/ab-1=1

所以(a+b)(a^2+b^2-ab)/ab>=(a+b)

即原式成立。

Answer 2

要证明a^3+b^3>=ab^2+a^2b
a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2){公式}
ab^2+a^2b=ab(a+b)
作差a^3+b^3-（ab^2+a^2b）=(a+b)(a^2-ab+b^2)-【ab(a+b)】
=（a+b)(a^2-ab+b^2-ab)
=(a+b)(a-b)^2
因为a+b>0，(a-b)^2大于等于0
∴(a+b)(a-b)^2大于等于0
所以a^3+b^3-（ab^2+a^2b）大于等于0
∴a^3+b^3>=ab^2+a^2b