Question

用初等变换求逆矩阵

要用初等变换做，太难了老师讲的太快根本没听懂，怎么做啊

Answer 1

具体回答如下：

设A是数域上的一个n阶矩阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=E ，则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为可逆矩阵。注：E为单位矩阵。

性质定理：

1、可逆矩阵一定是方阵。

2、如果矩阵A是可逆的，其逆矩阵是唯一的。

3、A的逆矩阵的逆矩阵还是A。记作（A-1）-1=A。

4、可逆矩阵A的转置矩阵AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T (转置的逆等于逆的转置）

5、若矩阵A可逆，则矩阵A满足消去律。即AB=O（或BA=O），则B=O，AB=AC（或BA=CA），则B=C。

6、两个可逆矩阵的乘积依然可逆。

7、矩阵可逆当且仅当它是满秩矩阵。

扩展资料：

若|A|≠0，则矩阵A可逆，且其中，A*为矩阵A的伴随矩阵。

证明：

必要性：当矩阵A可逆，则有AA-1=I 。（其中I是单位矩阵）

两边取行列式，det（AA-1）=det（I）=1。

由行列式的性质：det（AA-1）=det（A）det（A-1）=1则det（A）≠0，（若等于0则上式等于0）

充分性：有伴随矩阵的定理，有  （其中  是的伴随矩阵。）

当det（A）≠0，等式同除以det（A），变成 

比较逆矩阵的定义式，可知逆矩阵存在且逆矩阵 

参考资料：百度百科——逆矩阵

Answer 2

(3) (A, E) =
[ 1 0 1 -1 1 0 0 0]
[ 2 0 1 0 0 1 0 0]
[ 3 1 2 0 0 0 1 0]
[-3 1 0 4 0 0 0 1]
初等行变换为
[ 1 0 1 -1 1 0 0 0]
[ 0 0 -1 2 -2 1 0 0]
[ 0 1 -1 3 -3 0 1 0]
[ 0 1 3 1 3 0 0 1]
初等行变换为
[ 1 0 1 -1 1 0 0 0]
[ 0 1 -1 3 -3 0 1 0]
[ 0 0 -1 2 -2 1 0 0]
[ 0 0 4 -2 6 0 -1 1]

初等行变换为
[ 1 0 0 1 -1 1 0 0]
[ 0 1 0 1 -1 -1 1 0]
[ 0 0 1 -2 2 -1 0 0]
[ 0 0 0 6 -2 4 -1 1]
初等行变换为
[ 1 0 0 0 -2/3 1/3 1/6 -1/6]
[ 0 1 0 0 -2/3 -5/3 7/6 -1/6]
[ 0 0 1 0 4/3 1/3 -1/3 1/3]
[ 0 0 0 1 -1/3 2/3 -1/6 1/6]
A^(-1) =
[-2/3 1/3 1/6 -1/6]
[-2/3 -5/3 7/6 -1/6]
[ 4/3 1/3 -1/3 1/3]
[-1/3 2/3 -1/6 1/6]

追问

谢谢！

Answer 3

首先你应该在该矩阵的右方补上一个单位矩阵，组成一个四行八列的矩阵
然后你在每一行做初等变换，最终目标是让前四行四列形成一个单位矩阵，在此情况下 右边四列就是最终求的逆矩阵

追问

我也知道，但是不知道怎么算啊

Answer 4

Answer 5