Question

数学函数的极限问题

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Answer 1

函数的有界性定义：
设函数f(x)的定义域为D，数集X∈D。如果存在数K1使得 f(x)≤K1对任意x∈X都成立则称函数f(x)在X上有上界。此外，如果存在数字K2使得 f(x)≥K2对任意x∈X都成立，则称函数f(x)在X上有下界，而K2称为函数f(x)在X上的一个下界。 如果存在正数M，使得 |f(x)|≤M 对任一x∈X都成立，则称函数在X上有界。如果这样的M不存在就称函数f(x)在X上无界；这也就是说，无论对于任何正数M，总存在x1属于X，使得|f(x1)|>M，那么函数f(x)在X上无界。
此外，函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界也有下界。
举例：
一般来说，连续函数在闭区间具有有界性。 例如: y=x+6在[1，2]上有最小值7，最大值8，所以说它的函数值在7和8之间变化，是有界的，所以具有有界性。但正切函数在有意义区间，比如(-π/2，π/2)内则无界。

任何一个连续函数f:[0,1] →R都是有界的。 考虑这样一个函数：当x是有理数时，函数的值是0，而当x是无理数时，函数的值是1。这个函数是有界的。有界函数并不一定是连续的。
由此可见：极限存在，那么函数必然有界。有界函数未必有极限存在。