Question

高数，极限，根号套根号？

Answer 1

解：数列的通项递推公式为
Xn＝√[3+X(n-1)]. ①
⑴ {Xn}是单调增加的。
事实上，X2＝√(3+√3)＞√3＝X1.
假设Xk＞X(k-1).则有
X(k+1)＝√(3+Xk)＞√[3+X(k-1)]＝Xk.
根据归纳法原理，数列{Xn}单调增加。
⑵ {Xn}有上界
事实上，X1＝√3＜3.
假设Xk＜3.则有
X(k+1)＝√(3+Xk)＜√(3+3)＜3.
根据归纳法原理，数列{Xn}有上界。
综上，根据单调有界准则，数列{Xn}收敛。
设lim(n⥤∞)Xn＝a，则lim(n⥤∞)X(n-1)＝a.
于是，在①式两边令n趋于无穷取极限，得
a＝√(3+a)，即a^2-a-3＝0.解之，得
a＝1/2 (1±√13) .（负号不合题意，舍去）
所以，lim(n⥤∞) Xn＝1/2 (1+√13).

Answer 2

x1=√3
for n>=2
xn=√[3+x(n-1) ]

xn 是递增数列
(xn)^2=3+x(n-1)
(xn)^2 -x(n-1) -3 =0
(xn)^2 -xn -3 ≤0
√3≤xn≤ (1+√13)/2
=> |xn|≤ (1+√13)/2
=> lim(n->∞) xn 存在
let
lim(n->∞) xn =L
xn=√[3+x(n-1) ]
L=√[3+L ]
L^2-L -3=0
L = (1+√13)/2
=>
lim(n->∞) xn =(1+√13)/2

Answer 3

根号里套根号，课本知识并没有这种形式的题目和计算法则，如果是有过类似的做题经验，我们可能知道需要通过对被开方数进行变形，从而进行下一步的化简。
第一次遇到此题，也不要紧张。我们知道，要进行开方，就需要把被开方数写成a2的形式。于是我们考虑怎样把4+2√3变成（）2的形式。
我们再来观察最里层的被开方数4+2√3，这一式子是由4和2√3组成。
如果写成（）2的形式，需要运用完全平方公式，√3一定是公式的一项，而另一项就是1，因此4+2√3=（√3）2+2√3+1=（√3+1）2
掌握这一原理，我们就可以直接计算了：
把被开方数，进行变形，变成完全平方式的形式，进行开方计算即可。
希望我能帮助你解疑释惑。