Question

求下列极限？

12题！！

Answer 1

lim (1/x² - cot²x)，x趋向0
= lim (1/x² - cos²x/sin²x)，通分
= lim (sin²x - x²cos²x)/(x²sin²x)，分母sin²x等价x²
= lim cos²x(tan²x - x²)/x^4，分子提取cos²x出来并注意lim cos²x = 1
= lim (tanx - x)(tanx + x)/x^4，平方差
= lim (tanx - x)/x³ * lim (tanx + x)/x，第一项用洛必达法则上下求导
= lim (sec²x - 1)/3x² * ( lim tanx/x + 1)，tanx等价x
= lim tan²x/3x² * (1 + 1)，恒等式sec²x - 1 = tan²x
= lim x²/3x² * 2，tan²x等价x²
= 2/3

Answer 2

1/x^2 - 1/tan^2x = (tan^2x - x^2) / (x^2 tan^2x) = (tanx - x) (tanx + x) / (x^2 tan^2x)
分母可以换成等价无穷小量x^4
分子可以对tanx进行Taylor展开: tanx = x + x^3/3 + o(x^3)
代进去就得到 (x^3/3+o(x^3))(2x+o(x^3))/x^4 -> 2/3