Question

设A是mxn的矩阵，且r(A)=m<n,为什么A可通过初等变换化为(Em丨O)?

Answer 1

因为矩阵的秩等于m，即等于矩阵的行数，所以矩阵经过初等行变换化为行最简形必有m个非零行，每个非零行的第一个非零元为1，而这个非零元的其余元素都为0。
这时，适当交换列的位置，把这些列全部交换到前m列，则前m列就是一个n阶的单位矩阵，再利用这些列，对矩阵进行初等列变换，就可以将后n-m列的元素都化为0，即化为矩阵
(Em O）
这实际上就是化为矩阵的等价标准型。
这是一个定理：任何矩阵都可以经过适当的初等变换化为等价标准型。