二阶微分方程特解中，如果λ是复数，怎么确定特解公式的k是多少
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能给个k＝2的例子么？
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富港检测技术（东莞）有限公司_
2024-04-02 广告
正弦振动多用于找出产品设计或包装设计的脆弱点。看在哪一个具体频率点响应最大（共振点）；正弦振动在任一瞬间只包含一种频率的振动，而随机振动在任一瞬间包含频谱范围内的各种频率的振动。由于随机振动包含频谱内所有的频率，所以样品上的共振点会同时激发...
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例 y''-2y'+5y = e^xsin2x
特征方程 r^2-2r+5 = 0, r = 1±2i
非齐次项中，1±2i 与特征根 1±2i 相同，应取 k = 1，
即特解应设为 y = xe^x(Acos2x+Bsin2x), 则
y' = e^x(Acos2x+Bsin2x) + xe^x(Acos2x+Bsin2x)
+ xe^x(-2Asinx+2Bcos2x)
= e^x[(Ax+2Bx+A)cos2x+(Bx-2AX+B)sin2x]
y'' = e^x[(Ax+2Bx+A)cos2x+(Bx-2AX+B)sin2x]
+e^x[(A+2B)cos2x-2(Ax+2Bx+A)sin2x+(B-2A)sin2x+2(Bx-2AX+B)cos2x]
= e^x[(-3Ax+4Bx+2A+4B)cos2x+(-3Bx-4AX+2B-4A)sin2x]
代入微分方程得
(-3Ax+4Bx+2A+4B)cos2x+(-3Bx-4AX+2B-4A)sin2x
-2(Ax+2Bx+A)cos2x - 2(Bx-2AX+B)sin2x
+5Axcos2x+5Bxsin2x = sin2x， 解得 A = -1/4, B = 0
特解是 y = -(1/4)xe^xcos2x
特征方程 r^2-2r+5 = 0, r = 1±2i
非齐次项中，1±2i 与特征根 1±2i 相同，应取 k = 1，
即特解应设为 y = xe^x(Acos2x+Bsin2x), 则
y' = e^x(Acos2x+Bsin2x) + xe^x(Acos2x+Bsin2x)
+ xe^x(-2Asinx+2Bcos2x)
= e^x[(Ax+2Bx+A)cos2x+(Bx-2AX+B)sin2x]
y'' = e^x[(Ax+2Bx+A)cos2x+(Bx-2AX+B)sin2x]
+e^x[(A+2B)cos2x-2(Ax+2Bx+A)sin2x+(B-2A)sin2x+2(Bx-2AX+B)cos2x]
= e^x[(-3Ax+4Bx+2A+4B)cos2x+(-3Bx-4AX+2B-4A)sin2x]
代入微分方程得
(-3Ax+4Bx+2A+4B)cos2x+(-3Bx-4AX+2B-4A)sin2x
-2(Ax+2Bx+A)cos2x - 2(Bx-2AX+B)sin2x
+5Axcos2x+5Bxsin2x = sin2x， 解得 A = -1/4, B = 0
特解是 y = -(1/4)xe^xcos2x
追问
那请问y''-2y'+5y = e^x（sin2x+cos2x)的话取k=2吗？？
追答
k 还是 1， 非齐次项的特征还是 1±2i
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