Question

线性代数，逆

r(A)为什么等于n-1,波浪线怎么得到的

Answer 1

显然aa^T 的特征值为 1,0,0,...,0
所以 A=E-aa^T 的特征值为 0,1,1,...,1
由于A是实对称矩阵, 所以 r(A) 等于A的非零特征值的个数
那么得到r(A)=n-1
或者A=E-αα^T，则Aα=(E-αα^T)*α
=α-αα^T*α=α-α(α^T*α)
已知α是单位向量，那么α^T*α=1，
代入得到Aα=α-α(α^T*α)=α-α=0
即Ax=0有非零解，于是A不满秩，即r(A)<n

Answer 2

上面不是推出A和E-A的秩的和为n吗？
再求出E-A的秩为1，
那么A的秩不就是n-1了吗？

虽然那是错的。
正确的应该是r（A）+r（E-A）≤n
r（E-A）=1
r（A）≤n-1
所以A的行列式值等于0

Answer 3

你上面已经提到了：r(A)+r(E-A)=n; r(E-A)=1。所以r(A)=r(A)+r(E-A)-r(E-A)=n-1.